絕對收斂(absolutely convergent)&條件收斂(conditionally convergent)要如何使用呢?
然後，幫我解一題：證明sigma(n=1至無窮大)﹝(-1)^n*(ln n)/n﹞是條件收斂。
(抱歉，專業的數學記號我不大會打，不懂我的題目者可以問我喔^^")
謝謝大家幫我解答囉!!!!!
2010-04-24 19:09:21 補充
"但本身因正負or方向關係,自相抵消而conv"只會發生在交錯級數嗎?
"n=3,4,5,...時, ln(n)/n為遞減(由導函數=[1-ln(n)]/n^2可知)且均為正數"
所以微出的導函數要從n=1一直帶到n=3始知它為遞減?
"由積分法知級數Σ(n=3~∞) ln(n)/n 與∫[3~∞] ln(x)/x dx同時conv. or div."
積分法是「積分審斂法」的意思嗎?為什麼會同時收斂或發散@@?
(※回答能再白話一點嗎?抱歉，我微積分不大好ˊˋ...真的非常謝謝你。)
2010-04-24 19:13:06 補充
對了，那假如遇到此相關題目通常是不是就直接問說"....是絕對收斂或條件收斂"或"證明...為絕對收斂"之類的?
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無窮級數有收斂與發散兩種,收斂又有絕對收斂與條件收斂之別
不考慮正負號or方向(只考慮大小,即絕對值)情況下的收斂稱為絕對收斂
或每項加絕對值後為div.但本身因正負or方向關係,自相抵消而conv.者稱為條件conv.
本題級數:
|(-1)^n*ln(n)/n|=ln(n)/n
n=3,4,5,...時, ln(n)/n為遞減(由導函數=[1-ln(n)]/n^2可知)且均為正數
由積分法知級數Σ(n=3~∞) ln(n)/n 與∫[3~∞] ln(x)/x dx同時conv. or div.
而∫[3~∞] ln(x)/x dx= 0.5(ln x)^2 代x=3~∞=∞ (div)
故Σ[3~∞] ln(n)/n div, so Σ[n=1~∞] ln(n)/n div.
又原級數項 (-1)^n*ln(n)/n, n=3,4,5,....為conv.之交錯級數
(因 ln(n)/n 遞減至0 (Note: lim(n->∞) ln(n)/n =0))
故Σ[n=1~∞] (-1)^n*ln(n)/n 為(conditional conv.)
2010-04-24 09:55:22 補充
先別是否絕對conv.? 若是則conv.
若否,再考慮是否conditional conv.?
2010-04-24 22:51:29 補充
"但本身因正負or方向關係,自相抵消而conv"只會發生在交錯級數嗎?
Ans: No, Σ[n=1~∞] sin(n)/n不是交錯級數，但仍然(條件)收斂
"n=3,4,5,...時, ln(n)/n為遞減(由導函數=[1-ln(n)]/n^2可知)且均為正數"
Ans: f(n)=ln(n)/n, f'(n)=[1-ln(n)]/n^2, so n>e=2.718~ 時 f'(n) < 0, 故n > 3時, f'(n) < 0, f(n)遞減
2010-04-24 22:53:23 補充
"由積分法知級數Σ(n=3~∞) ln(n)/n 與∫[3~∞] ln(x)/x dx同時conv. or div."
積分法是「積分審斂法」的意思嗎?為什麼會同時收斂或發散@@?
Ans:積分審斂法的條件是"正項且遞減級數",則級數與(瑕)積分同時conv. or div.
(請看書上證明)
相關題目通常是不是就直接問說"....是絕對收斂或條件收斂"或"證明...為絕對收斂"之類的?
Ans:題目怎麼問都可能, 重點是看到無窮級數自己要能分析其收斂的詳細情形!
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