抱歉 第2題題目有誤 可以請您解答第一題的詳解嗎? 非常感謝
不好意思 上面的兩個題目有打錯 應該要改成
(西個碼符號) X^(n+1)/[ln(n+1)乘上3^n]
和
(西個碼符號)[n^(n-1)X^n]/(n+1)!
算法同上 謝謝!!!!
還有一題是 ln |2x+(x^2+4)^1/2|的展開到X^4項 用泰勒展開的方法
1. Σ(x^{2n})/[n(ln n)^2] 的收斂半徑.
Sol. u_n = (x^{2n})/[n(ln n)^2]
u_{n+1}/u_n = x^2 *[n(ln(n))^2]/[(n+1)(ln(n+1))^2]
→ x^2 當 n→∞
故 x^2<1 時 Σu_n 即原級數收斂,
且 x^2>1 時 Σu_n 發散.
當 x^2=1 時, Σ1/[n(ln(n))^2] 依積分檢斂法, 因
∫_[2,∞) 1/[x(ln(x))^2] dx = 1/ln(2) 收斂,
故 Σ1/[n(ln(n))^2] 也收斂.
故 Σ(x^{2n})/[n(ln n)^2] 收斂 if and only if x^2≦1,
即 -1≦x≦1, 收斂半徑 1.
2. Σx^(n+1)/[ln(n+1)*3^n]
Sol. 原級數 表示為 Σa_n x^{n+1},
a_n = 1/[ln(n+1)*3^n], n=1,2,...
則
a_n/a_{n+1} = [ln(n+2)*3^{n+1}]/[ln(n+1)*3^n]
= 3*ln(n+2)/ln(n+1)→3,
故收斂半徑 3.
又: x=3 時, Σ3/ln(n+1) 發散,
x=-3 代入, 得交錯級數, 可依交錯級數收斂定理知收斂.
故收斂區間 [-3,3).
3. Σ[n^(n-1)x^n]/(n+1)! = Σa_n x^n
a_n = n^{n-1}/(n+1)!
則
a_n/a_{n+1} = [n^{n-1}/(n+1)!]/[(n+1)^n/(n+2)!]
= [n^n/(n+1)^n]*(n+2)!/[n(n+1)!]
= [1/(1+1/n)^n]*(n+2)/n → 1/e
故收斂半徑 1/e.
在端點, 應用 Stirling's formula 與極限比較檢斂法
可證極數(絕對)收斂, 故收斂區間: [-1/e, 1/e].
4. ln |2x+(x^2+4)^1/2| 展開到x^4項
題目是否有錯? 是否應為 ln|x+(x^2+4)^{1/2}|?
就原題, 很難算!
f(x) = ln|2x+(x^2+4)^{1/2}|, f(0)=ln(2)
f'(x) = [2+x(x^2+4)^{-1/2}]/[2x+(x^2+4)^{1/2}]
= 太複雜!
若 f(x) = ln|x+(x^2+4)^{1/2}|, 則 f'(x) = (x^2+4)^{-1/2}
用二項式展開 f'(x), 再逐項積分得 f(x) 之展開式.
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