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review:

對於冪級數F(X)=Cn(X-Xo)^n從n=0到∞

取

R(X)=lim(n->∞)│Fn+1(X) / Fn(X)│

=lim(n->∞)│C(n+1)(X-Xo)^(n+1) / Cn(X-Xo)^n│

當R(X)<1時->F(X)絕對收斂

當R(X)>1時->F(X)發散

當R(X)=1時->無法判斷

收斂半徑r=lim(n->∞)│Cn/C(n+1)│


NOTE.

1.對於n^p級數從n=1到∞

當p>= -1時發散

p<-1時收斂

2.對交錯級數(-1)Cn(X-Xo)^n而言

只要函數Cn(X-Xo)^n收斂則級數收斂

(交錯級數的判別在此為簡單的說明

萊布尼茲檢驗法有些細部說明

不過在此用上述那句話就夠了)
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以下極限的n->∞都不寫

1.

R(x)=│{(-3x)^(n+1)/[(n+1)+1]^(1/2)} / {(-3x)^n/(n+1)^(1/2)}│

=│-3x│

因為要收斂

=>│-3x│<1

=>│x│<1/3

=>(-1/3)<x<1/3

所以收斂半徑r=1/3

但因為在x恰好就是1/3或(-1/3)時我們無法確定

切記要代入原式做檢查

x=(-1/3)時

F(x)=1/(n+1)^(1/2)

=(n+1)^(-1/2)

根據上述的NOTE1可知

(-1/2)>(-1)

=>級數發散

當x=1/3時

此為交錯級數

F(x)=(-1)^n/(n+1)^(1/2)

=(-1)^n*[1/(n+1)^(1/2)]

此函數1/(n+1)^(1/2)本身收斂

=>級數收斂

故x屬於(-1/3，1/3]時會收斂

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後面解法都相同

所以我只附上我寫的答案

如果有問題歡迎發問

2.r=1/2

x屬於(-1/2，1/2]時收斂

3.收斂半徑無限大

處處發散

4.

Cn*4^n的收斂半徑為1/4

Cn*(-2)^n的收斂半徑為1/2

1/2>1/4

所以Cn*(-2)^n有些地方會不收斂